Módulo 1 — Cálculo integral

1 INTRODUCCIÓN

El presente Módulo pretende que el alumno adquiera una idea general de la noción de integral definida, a objeto de estar en capacidad de calcular el área encerrada en una región plana limitada por el eje de las abscisas, las rectas. \(x=a\) , \(x=b\) y la curva de ecuación \(y = f(x)\) También se estudiará el concepto de integral para un tipo especial de funciones llamadas funciones escalonadas y se usará este concepto para definir la integral de una función acotada (integral de Riemann).

En el desarrollo de este Módulo se exponen todos los recursos necesarios para el cálculo de integrales definidas a partir del cálculo de primitivas. Explicamos los métodos más importantes para determinar la primitiva de una función dada y algunas proposiciones como la regla de Barrow que establece el enlace entre el cálculo de primitivas y el cálculo de las integrales definidas.

El objetivo principal de este Módulo es darle al estudiante la base indispensable para abordar las aplicaciones elementales que se tratarán en los Módulos 2 y 3 de este curso; para ello contamos con la base preparatoria dada en los cursos anteriores, muy especialmente los expuestos en los Módulos 5 y 6 del curso de Mat. II donde se consideró una introducción al cálculo diferencial preparando el terreno para el desarrollo de este Módulo.

2 OBJETIVOS GENERALES

. Adquirir el concepto de Integral.

. Adquirir el conocimiento de los métodos fundamentales de integración.

. Generalizar el concepto de integral.

. Calcular integrales en forma aproximada.

3 TEST DE ENTRADA

A continuación te presentamos un test de entrada que te permitirá detectar si posees los conocimientos necesarios para iniciar el estudio de este Módulo.

Instrucciones:
Responde todas las preguntas del test y compara tus respuestas con las que te presentamos en el cuadro de respuestas.
En caso de que tengas dificultades en alguna pregunta revisa los conceptos estudiados en los Módulos 5 y 6 de Matemática II.

1) Al calcular

se obtiene:
A) -3
B) 3
C) \(\frac{1}{3}\)
D) 0
E) \(-\frac{1}{3}\)

2) Al calcular

se obtiene:
A) -1
B) 1
C) \(\infty\)
D) 0
E) \(\frac{3}{4}\)

3) De las siguientes funciones, es continua en \(\mathbb{R}\)

la función:
A) \(f(x) = \text{tg } x + 3x + 5\)
B)\(f(x) = \frac{\text{sen } e^{x^2} + \text{arctg } x}{3}\)
C) \(f(x) = \text{cotg } x + 2\)
D) \(f(x) = \frac{1}{x^2-1}\)
E) \(f(x) = \frac{1}{x} + 2x + 3\)

4) De las siguientes funciones es continua en \(\mathbb{R}\)

la función:
A) \(f(x) = \text{cosec } x + 7x^2\)
B) \(f(x) = \frac{1}{\text{Ln } x - 2}\)
C) \(f(x) = \frac{|x|}{1+3x}\)
D) \(f(x) = 1 + [\text{Ln } x]\)
E)\(f(x) = \frac{\text{arctg } e^x}{e^x} + \cos(x-3)\)

* Los corchetes denotan la función parte entera.

5) La función

se hace continua en \(x=2\)

si la redefinimos como:
A) \(f(2) = \frac{1}{12}\)
B) \(f(2) = 0\)
C) \(f(2) = -12\)
D) \(f(2) = 12\)
E) \(f(2) = -\frac{1}{12}\)

6) La derivada de la función

es:
A) \(\cos(x^2+2) - \text{sen } x \text{ sen } 2x + 2 \cos x \cos 2x\)
B) \(2x \cos(x^2+2) - \text{sen } x \text{ sen } 2x + 2 \cos x \cos 2x\)
C) \(\cos(x^2+2) - \text{sen } 2x + \cos 2x\)
D) \(2x \cos(x^2+2) - \text{sen } 2x + \cos 2x\)
E) \(\text{sen}(x^2+2) + \text{sen } 2x \cos 2x\)

7) La derivada de la función

es:
A) \(15e^{3x} + \frac{2x \text{ sen } x - x^2 \cos x}{\text{sen}^2 x}\)
B) \(5e^{3x} + \frac{2x \text{ sen } x + x^2 \cos x}{\text{sen}^2 x}\)
C) \(15e^{3x} + \frac{-x \cos x + 2x \text{ sen } x}{\text{sen}^2 x}\)
D) \(3e^{3x} + \frac{2x \text{ sen } x + x^2 \cos x}{\text{sen}^2 x}\)
E) \(e^{3x} + 2x \text{ sen } x + x^2 \cos x\)

8) La derivada de la función

es:
A) \(\cos(x^3+3x+1) + x e^{\text{sen } x} + e^{\text{sen } x}\)
B) \(\cos(x^3+3x+1) + x \cos x e^{\text{sen } x} + e^{\text{sen } x}\)
C) \((3x+3) \cos(x^3+3x+1) + x e^{\text{sen } x} + e^{\text{sen } x}\)
D) \((3x^2+3) \cos(x^3+3x+1) + \cos x e^{\text{sen } x} + e^{\text{sen } x}\)
E) \((3x^2+3) \cos(x^3+3x+1) + x \cos x e^{\text{sen } x} + e^{\text{sen } x}\)

9) La recta tangente a la gráfica de la función

en el punto

es:
A) \(y = \frac{2}{\sqrt{3}} (x - \frac{\sqrt{3}}{3}) + 3\)
B) \(y = \frac{2}{\sqrt{3}} (x - \frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{1}{3}\)
C) \(y = 2\sqrt{3} (x - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 3\)
D) \(y = 2\sqrt{3} (x - \frac{\sqrt{3}}{3}) + 3\)
E) \(y = 2\sqrt{3} (x + \frac{\sqrt{3}}{3}) + 3\)

10) La recta normal a la gráfica de la función

en el punto \((1,5)\)

es:
A) \(y = \frac{1}{6}x + \frac{31}{6}\)
B) \(y = -\frac{1}{6}x + \frac{31}{6}\)
C) \(y = -6x + \frac{31}{6}\)
D) \(y = -\frac{1}{6}x + \frac{6}{31}\)
E) \(y = 6x + \frac{6}{31}\)

11) Al usar la regla de L'Hospital se obtiene que

es:
A) -2
B) 1
C) -1
D) \(\infty\)
E) 0

12) Al usar la regla de L'Hospital se obtiene que

es:
A) 1
B) \(\infty\)
C) -1
D) \(\frac{1}{3}\)
E) 0

CUADRO DE RESPUESTAS (TEST DE ENTRADA)

4 CONTENIDO

1. Recuento histórico

    . Propiedades de la Integral Definida

    . La integral como función del extremo superior (Integral indefinida)

    . Propiedades de la Integral indefinida

2. Cálculo de Primitivas

    . Sustituciones trigonométricas

    . Integrales de ciertas funciones que contienen un trinomio cuadrado

    . Integración por partes

    . Integración de funciones racionales

    . Integración de funciones trigonométricas

    . Fórmulas de reducción

3. Relación entre las integrales definidas e indefinidas

    . Método del cambio de variables para integrales definidas

    . Método de integración por partes para integrales definidas

4. Integrales impropias

    . Integrales impropias en un intervalo infinito

    . Criterio para establecer la convergencia de integrales impropias

    . Fórmula de la media

5. Generalización de la integral definida

    . Particiones y funciones escalonadas

    . Cálculo de la integral de funciones escalonadas

    . Propiedades fundamentales de la integral de una función escalonada

    . Integral de funciones más generales

    . Definición de integral de una función acotada

6. Integración aproximada

    . Fórmula de los trapecios

    . Fórmula de Simpson