CONTENIDO

GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE INTEGRAL

Al finalizar esta Unidad de Aprendizaje, estarás en condiciones de:

. Generalizar el concepto de Integral.

. Calcular integrales de funciones escalonadas.

EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE N° 4

Al finalizar esta Experiencia de Aprendizaje serás capaz de :

. Calcular integrales impropias.

. Calcular el valor medio \(\overline{f(x)}\)

de la función f en el intervalo [a,b].

31 INTEGRALES IMPROPIAS

La "integral definida" se definió para funciones acotadas en intervalos finitos (límites finitos de integración). Podemos generalizar la definición de integral para los casos en que el intervalo de integración es infinito (impropio), por ejemplo,

cuando \(b \to +\infty\), este tipo de integral se le llama infinito o "integral impropia en un intervalo infinito" y se denota por

. Otro caso se obtiene cuando f no está acotada en un intervalo (a,b), este tipo de integrales las llamamos "integrales impropias de funciones no acotadas". Ambos casos de integrales impropias son comunes en Análisis.

32 INTEGRALES IMPROPIAS EN UN INTERVALO INFINITO.

DEFINICIÓN 3

Dada una función f definida para todo \(x \ge a\) e integrable en cada intervalo \([a,M]\) , llamamos integral impropia de f en \([a, +\infty)\) al límite:

(i)

en forma similar, dada una función f definida para todo \(x \le b\) e integrable en \([-M,b]\) , llamamos integral impropia de f en \((-\infty, b]\) al límite:

(ii)

Si combinamos ambas condiciones, obtenemos:

(iii)

Decimos que la integral impropia existe o converge en cada caso(i), (ii) y (iii) si los límites existen. En caso contrario, se dice que la integral impropia diverge.

EJEMPLOS:

a)

Por definición de integral definida

Debemos hallar el límite

\[\lim_{M \to +\infty} \frac{1}{m-1} \left( \frac{1}{a^{m-1}} - \frac{1}{M^{m-1}} \right)\]

Para \(m \gt 1\),

y por lo tanto

Para \(m < 1\), \(\frac{1}{M^{m-1}}\) tiende a infinito junto conM y por lo tanto I no converge.

Para \(m = 1\)

\(\text{Ln } \frac{M}{a}\) tiende a \(+\infty\) junto con M y por lo tanto I no converge.

I existe, tiende a un límite finito si y sólo si \(m > 1\).

b)

Por el ejemplo anterior sabemos que I converge y

\[I = \frac{1}{(3-1)} = \frac{1}{2}\]

c)

\[I = \lim_{M \to +\infty} \int_{0}^{M} \text{sen } x dx = \lim_{M \to +\infty} (1 - \cos M)\]

y este límite no existe.

33 CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS.

CRITERIO 1

Si la integral definida

existe para cada \(b \ge a\) y si \(0 \le f(x) \le g(x)\)

para todo \(x \ge a\) donde

converge, entonces

también converge y

\[\int_{a}^{+\infty} f(x) dx \le \int_{a}^{+\infty} g(x) dx\]

CRITERIO 2

Si las dos integrales definidas

y

existen para cada \(b \gt a\), siendo \(f(x) \gt 0\) y \(g(x) \gt 0\) para todo \(x \ge a\), y si además

donde \(C \neq 0\)

entonces la integral impropia

converge si y sólo si

converge. Cuando \(C=0\) solo podemos concluir que si

converge, entonces

también converge.

EJEMPLOS:

Estudie la convergencia de las siguientes integrales impropias

a)

Por el ejemplo a) de la Sección 32, sabemos que

diverge, luego, por el criterio 2,

también diverge, ya que

b)

Comparando

con

obtenemos

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{-x} x^t}{x^{-2}} = 0\]

y como

converge (por el ejemplo a) de la Sección 32) por el criterio de comparación 2 (como \(C=0\)) sabemos que

converge.

34 INTEGRALES IMPROPIAS DE FUNCIÓNES NO ACOTADAS.

DEFINICIÓN 4

Sea f una función definida en \((a,b)\) , integrable en \([a, b-\epsilon]\) para \(0 \leq \epsilon \leq b - a\) y no acotada a la izquierda de b, definimos:

\[\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x) dx\]

como la integral impropia de f en [a,b]

En forma análoga, definimos la integral impropia en el caso que f esté definida en

y no acotada a la derecha de a, mediante:

\[\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x) dx .\]

Cuando el límite existe y es finito se dice que la integral impropia existe o converge y en caso contrario se dice que diverge.

En caso de que ambas condiciones se satisfagan podemos definir

\[\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x) dx + \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x) dx\]

Los criterios 1 y 2 pueden extenderse análogamente para establecer la convergencia de integrales impropias de funciones no acotadas.

EJEMPLO:

a) Calcular las siguientes integrales impropias

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\cos x}\]

no está acotada para \(x = \frac{\pi}{2}\) f es continua en cualquier intervalo del tipo

y por lo tanto integrable en ellos

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\cos x} = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}-\epsilon} \frac{dx}{\cos x} = \lim_{\epsilon \to 0} \text{Ln} \left| \text{tg} \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}-\epsilon}\]

\[= \lim_{\epsilon \to 0} \text{Ln} \left| \text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\epsilon}{2} \right) \right| = +\infty\]

La integral diverge.

b)

no está acotada para \(x = 1\);

f es integrable en \([1 + \epsilon , e]\)

ya que es continua en este intervalo

\[\int_{1}^{e} \frac{dx}{x \sqrt[3]{\text{Ln } x}} = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{1+\epsilon}^{e} \frac{dx}{x \sqrt[3]{\text{Ln } x}}\]

\[= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{3}{2} \sqrt[3]{\text{Ln}^2 |x|} \Big|_{1+\epsilon}^{e} = \frac{3}{2} .\]

PROPOSICIÓN 3

Sea f una función definida y continua en [a,b] entonces existe \(c \in [a,b]\) , tal que

\[\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx = f(c) .\]

Otra expresión es

para algún \(c \in [a,b]\), Si \(a > b\) la proposición sigue siendo válida ya que:

\[\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx \quad \text{y} \quad (a-b) = - (b-a)\]

luego

EJEMPLOS:

a) Hallar el valor medio \(\overline{f(x)}\) de \(f(x) = 2x^2 + 3x + 3\)

en el intervalo [1,4] (denotamos el valor medio de la función f por

ó por \(\overline{y}\)).

\[\overline{f(x)} = \frac{1}{4-1} \int_{1}^{4} f(x) dx = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} (2x^2 + 3x + 3) dx\]

\[= \frac{1}{3} \left[ \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + 3x \right] \Big|_{1}^{4} =\]

\[= \frac{1}{3} \left( \frac{128}{3} + 24 + 12 - \frac{2}{3} - \frac{3}{2} - 3 \right) = 24,5\]

El integrando es continuo, entonces existe al menos un punto c en el intervalo [1,4] tal que

.

35 FÓRMULA DE LA MEDIA

En la definición de la integral definida, la expresión

representa la media aritmética de los valores de la función f en los puntos

de división del segmento [a,b] .

Como hemos visto

\[\lim_{n \to \infty} \frac{(b-a)}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) = \int_{a}^{b} f(x) dx\]

ya que si tomamos una división de [a,b] en n partes iguales cada una con longitud \(\frac{(b-a)}{n}\) tendremos:

\[\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \frac{(b-a)}{n} =\]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{(b-a)}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\]

luego,

\[\int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\]

de donde

\[\frac{1}{(b-a)} \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\]

se le llama el valor medio de f en el intervalo

Para hallar c :

\[2x^2 + 3x + 3 = 24,5\]

\[2x^2 + 3x - 21,5 = 0\]

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 172}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{181}}{4}\]

La solución debe pertenecer al intervalo [1,4] y por lo tanto \(c = \frac{-3 + \sqrt{181}}{4}\)

b) Encontrar el valor medio \(\overline{y}\) de \(y = \sqrt{a^2 - x^2}\) en el intervalo \([-a,a]\)

\[\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2} \left( a^2 \text{ arcsen } \frac{x}{a} + x \sqrt{a^2 - x^2} \right) \Big|_{-a}^{a}\]

\[= \frac{1}{2} \left[ a^2 \frac{\pi}{2} - a^2 \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right] = \frac{1}{2} \pi a^2\]

Entonces

36 EJERCICIOS PROPUESTOS:

1) Estudie la convergencia de las siguientes integrales impropias:

a)

b)

c)

2) Calcule las siguientes integrales impropias:

a)

b)

c)

37 RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS:

1)

a) Converge

b) Converge

c) Integrando por partes obtenemos:

\[\int x \text{ sen } x dx = - x \cos x + \text{sen } x + C\]

\[\int_{0}^{+\infty} x \text{ sen } x dx = \lim_{M \to +\infty} \int_{0}^{M} x \text{ sen } x dx = \lim_{M \to +\infty} (-x \cos x + \text{sen } x) \Big|_{0}^{M}\]

el límite no existe y por lo tanto la integral diverge.

2)

a) \(\frac{1}{2} \text{ Ln } 2 .\)

b)

no acotada para \(x = 1\) (punto de discontinuidad)

\[\int \frac{dx}{(x-1)(x-3)} = \frac{1}{2} \left( \int \frac{-1}{x-1} + \int \frac{1}{x-3} \right) dx = \frac{1}{2} \text{ Ln } \left| \frac{x-3}{x-1} \right| + C\]

\[\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2} \text{ Ln } \left| \frac{x-3}{x-1} \right| \Big|_{0}^{1-\epsilon} + \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2} \text{ Ln } \left| \frac{x-3}{x-1} \right| \Big|_{1+\epsilon}^{2}\]

El límite no existe y por lo tanto la integral diverge.

c) 0

EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE N° 5

Al finalizar esta Experiencia de Aprendizaje serás capaz de:

. Calcular integrales de funciones escalonadas.

. Aplicar las propiedades de la integral de una función escalonada.

38 GENERALIZACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

El concepto dado aquí de integral definida, que como hemos dicho proviene de la formalización de la noción de área bajo una curva, lo podemos generalizar para funciones con"ciertas" discontinuidades.

Para ilustrar esta idea tomemos la función

definida sobre el intervalo

Cabe preguntarnos por el área algebraica encerrada entre las rectas de ecuaciones \(x = 1\), \(x = -1\), el eje 0x y la gráfica de f.

Vemos en la fig. (7) que podemos considerar esta área algebraica como dividida en dos partes: la primera encerrada por la gráfica def, y los ejes 0x y 0y y la recta de ecuación x=-1 la cual es:

\[\int_{-1}^{0} f(x) dx = \int_{-1}^{0} -dx = -x \Big|_{-1}^{0} = 0 - 1 = -1\]

y la segunda encerrada por la gráfica de f, los ejes 0x y0y y la recta de ecuación x=1, que corresponde a:

\[\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} dx = x \Big|_{0}^{1} = 1 - 0 = 1\]

luego, el área algebraica es la suma de estas dos integrales, es decir,

\[A = \int_{-1}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx = 1 - 1 = 0\]

resultado que era de esperar ya que podemos observar en lafig. (7) que el área de cada pedazo es igual a la del otro, con la salvedad de que una de ellas es positiva y la otra negativa.

Similar análisis podemos hacer para la función \(f(x) = [x]\)

Procedemos a calcular el área algebraica de esta función en el intervalo

\[\int_{-2}^{3} f(x) dx = \int_{-2}^{-1} (-2) dx + \int_{-1}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{2} dx + \int_{2}^{3} 2 dx =\]

\[= -2x \Big|_{-2}^{-1} - x \Big|_{-1}^{0} + x \Big|_{1}^{2} + 2x \Big|_{2}^{3} =\]

\[= -2(-1 - (-2)) - (0 - (-1)) + (2 - 1) + 2(3 - 2) =\]

\[= -2 - 1 + 1 + 2 = 0\]

39 PARTICIÓNES Y FUNCIÓNES ESCALONADAS.

PARTICIÓN

Consideremos la fig.(9) el intervalo cerrado

descompuesto en n subintervalos mediante \(n-1\) puntos de subdivisión, tales que

\[a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \dots \lt x_{n-1} \lt x_n = b \quad \text{(i)}\]

Una partición P de \([a,b]\) es un conjunto de puntos del mismo que satisfacen (i) y la denotamos con el símbolo

\[P = \{ x_0, x_1, \dots, x_n \} .\]

La partición P determina n intervalos cerrados

FUNCIÓN ESCALONADA

Una función f cuyo dominio es \([a,b]\) decimos que es escalonada, si f es una función constante en cada subintervalo abierto \((x_{i-1}, x_i)\) de una partición P de \([a,b]\)

Por lo tanto, fig.(10), si f es una función escalonada existen constantes \(C_1, C_2, C_3, C_4, C_5\)

tales que

\[C_1 = f(x) \quad \text{si} \quad a = x_0 \lt x \lt x_1\]

\[C_2 = f(x) \quad \text{si} \quad x_1 \lt x \lt x_2\]

\[C_3 = f(x) \quad \text{si} \quad x_2 \lt x \lt x_3\]

\[C_4 = f(x) \quad \text{si} \quad x_3 \lt x \lt x_4\]

\[C_5 = f(x) \quad \text{si} \quad x_4 \lt x \lt x_5 = b \quad .\]

En general, si la función f cuyo dominio es

, es escalonada en

, existen n constantes

tales que:

\[f(x) = C_i, \quad \text{si} \quad x_{i-1} \lt x \lt x_i\]

Observemos que nada hemos dicho acerca de los valores que alcanza f en los puntos

La función f puede tomar cualquier valor en dichos puntos si f está definida en ellos.

40 CÁLCULO DE LA INTEGRAL DE FUNCIÓNES ESCALONADAS.

A continuación estudiaremos la definición de integral para un tipo muy sencillo de funciones llamadas funciones escalonadas.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL PARA FUNCIÓNES ESCALONADAS.

Sea f una función escalonada y no negativa definida en [a,b], fig.(11) y sea

una partición de [a,b] tal que f es constante en los subintervalos abiertos \((x_{i-1}, x_i)\) de P. Designemos con \(C_i\) el valor constante que toma f en \((x_{i-1}, x_i)\), \(i = 1, 2, \dots, n\), de modo que \(f(x) = C_i \quad \text{si } x_{i-1} \lt x \lt x_i , \quad i = 1, 2, \dots,n .\)

La región \(S_f\) del plano comprendida entre la gráfica de f y el eje de las abscisas se llama conjunto de ordenadas de f; con más precisión:

\[S_f = \{ (x,y) \mid a \le x \le b ; 0 \le y \le f(x) \} .\]

En la fig.(11), la parte rayada representa el conjunto \(S_f\), lo que deseamos es definir áreas de los conjuntos de ordenadas de f que no son otra cosa que figuras geométricas conocidas.

Al conjunto \(S_f\) podemos asignarle un área \(A(S_f)\) definida por la suma de las áreas de los rectángulos de base \(x_i - x_{i-1}\) y alturas \(C_i\). En el caso de la fig.(11) tenemos que

\[A(S_f) = C_1 (x_1 - x_0) + C_2 (x_2 - x_1) + \dots + C_6 (x_6 - x_5) \quad (1)\]

La suma del \(2^0\) miembro se abrevia mediante el símbolo \(\int_a^b f(x)dx\) y leemos, la integral de f de a hasta b.

Se tiene entonces la siguiente:

DEFINICIÓN 5

Sea f es una función escalonada no negativa, definida sobre [a,b], constante en los subintervalos abiertos \((x_{i-1}, x_i)\) de una partición \(P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}\)de [a,b]. Si para cada \(i = 1, 2, \dots, n\) se tiene que:

\[f(x) = C_i, \text{ si } x_{i-1} \lt x \lt x_i , \text{ definimos}\]

\[\int_a^b f(x)dx = C_i \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) , \quad (2)\]

Si \(A(S_f)\) es el área del conjunto de ordenadas de f sobre [a,b], entonces

\[A(S_f) = \int_a^b f(x) dx .\]

Observemos que los valores de la función en los extremos de los intervalos no se toman en cuenta ya que no aparecen en el \(2^0\) miembro de (2).

En particular, si f es constante en (a,b) : \(f(x)=C\) y si \(a \lt x \lt b\) , entonces

\[\int_a^b f(x) dx = C \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) = C (b-a) ,\]

independiente de los valores de \(f(a)\) y \(f(b)\). Si \(C \gt 0\) y \(f(x) = C\), para todo x de [a,b], el conjunto \(S_f\) es un rectángulo de base \(b-a\) y altura \(C\) y la integral de f es \(C(b-a)\), área de este rectángulo.

Observemos además que (2) no depende de la partición P, mientras f es constante en los subintervalos abiertos de P. Así, si se sustituye P por otra partición P' más fina, añadiendo un nuevo punto m siendo \(x_0 \lt m \lt x_1\), entonces, el \(1^{er.}\) término de la suma de (2) se reemplaza por los dos términos \(C_1(m - x_0)\) y \(C_1(x_1 - m)\) y al sumar, los cálculos no cambian, ya que \(C_1(m - x_0) + C_1(x_1 - m) = C_1(x_1 - x_0) y el valor de la suma de (2) no cambia. De modo que (2) no cambia para todos los refinamientos* de P.

* Se dice que P' es un refinamiento de P, si P y P' son particiones de[a,b] tales que \(P \subset P'\).

41 EJEMPLOS:

a) La función parte entera \(f(x) = [x]\) proporciona un ejemplo de función escalonada. Calculemos

En la fig. (12) se tiene:

b) Construcción de la gráfica de \(f(x) = [3x + 1], x \ge 0\)

• En \(0 \le x \lt \frac{1}{3}, 1 \le 3x + 1 \lt 2\).
• En \(\frac{1}{3} \le x \lt \frac{2}{3}, 2 \le 3x + 1 \lt 3\).
• En \(\frac{2}{3} \le x \lt 1, 3 \le 3x + 1 \lt 4\).
• En \(1 \le x \lt \frac{4}{3}\), \(4 \le 3x + 1 \lt 5\).
• En \(\frac{4}{3} \le x \lt \frac{5}{3}, 5 \le 3x + 1 \lt 6\).
• En \(\frac{5}{3} \le x \lt 2, 6 \le 3x + 1 \lt 7\).
• En \(2 \le x \lt \frac{7}{3}\), \(7 \le 3x + 1 \lt 8\).
• En \(\frac{8}{3} \le x \lt 3, 9 \le 3x + 1 \lt 10\).

La gráfica de \([3x + 1]\) es la de la fig. (13)

c) Calcular:

La gráfica de \(2f(x) = 2 [3x + 1]\) es la de la fig. (14) como puede probarse fácilmente ya que:

Luego

42 EJERCICIO PROPUESTO

Sean \(f(x) = [x]\) y \(g(x) = [2x]\) para todo \(x \in \mathbb{R}\) Dibujar la gráfica de la función \(h\) definida en \([-1, 2]\)

como sigue

1a) \(h(x) = f(x) + g(x)\)

1b) \(h(x) = f(x) + g\left(\frac{x}{2}\right)\)

1c) \(h(x) = f(x) g(x)\)

1d) \(\frac{1}{4} f(2x) g\left(\frac{x}{2}\right)\)

43 RESPUESTA AL EJERCICIO PROPUESTO

a.

b.

c.

d.

44 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN ESCALONADA.

Vamos a considerar algunas propiedades fundamentales que satisfacen la integral de una función escalonada. De ellas sólo daremos los enunciados y sus interpretaciones geométricas. Todas ellas son válidas para las integrales de funciones más generales y las demostraciones de las mismas, en estos casos, son consecuencias de las que se formulan para las funciones escalonadas.

PROPIEDAD 1 DE LINEALIDAD.

Si f y g son funciones escalonadas, no negativas, definidas sobre un intervalo [a,b] y si \(\alpha\) y \(\beta\) son números reales no negativos, entonces,

es una función escalonada no negativa y definida en [a,b] y

(3)

Las figuras (19) y (20) representan las gráficas de f y de \(\alpha f\); las (21) y (22) los de g y \(\beta g\).

La gráfica (23) es el de

.

La fórmula (3) expresa que el área de la región doblemente rayada de la fig.(23) es igual a la suma de las áreas rayadas en las figuras (20) y (22) es decir:

\[A(S_{\alpha f + \beta g}) = \alpha A(S_f) + \beta A(S_g)\]

En particular, si

, se tiene que

\[\int_{a}^{b} (f+g)(x) dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx,\]

propiedad llamada aditiva.

Si \(\beta = 0\), entonces

, propiedad llamada de homogeneidad.

PROPIEDAD 2 DE COMPARACION

Si f y g son funciones escalonadas, no negativas, definidas sobre un intervalo [a,b] y si

para cada \(x\) en

, entonces,

\[\int_{a}^{b} f(x) dx < \int_{a}^{b} g(x) dx\]

Geométricamente esta propiedad nos indica que si el conjunto de ordenadas de una función f está contenido en el conjunto de ordenadas de otra función g, el área del conjunto de ordenada menor no puede exceder al área del mayor.

Ejemplo:

ya que

para

.

PROPIEDAD 3 ADITIVIDAD CON RESPECTO AL INTERVALO DE INTEGRACIÓN

Si f es una función escalonada, no negativa, definida sobre el intervalo

y

entonces

\[\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx .\]

La interpretación geométrica de esta propiedad, como la vemos re-presentada en la fig.(24), nos indica que si un conjunto de ordena-das se descompone en dos, la suma de las áreas de las dos partes es igual al área total.

EJEMPLO:

PROPIEDAD 4 DE INVARIANCIA ANTE UNA TRASLACION

Sea f como en los casos anteriores, entonces, para todo numero real c

Si el conjunto de ordenadas \(x\) traslada una cantidad \(c\), el con-junto de ordenadas resultante es el de la función escalonada

definida en el intervalo

y de igual área que el original.

La fig.(25) nos representa esta invariancia, hacia la derecha si \(c > 0\) y hacia la izquierda cuando \(c < 0\).

Ejemplo:

PROPIEDAD 5 DILATACION O CONTRACCION DEL INTERVALO DE INTEGRACION

Sea \(f\) como en los casos anteriores, entonces para todo \(c > 0\) se tiene

La propiedad nos expresa un cambio de escala en el eje \(0x\) de las abscisas. Si se altera la escala en la dirección horizontal multiplicando por \(c > 0\), la nueva gráfica, ver fig.(26) es otra función escalonada definida en el intervalo

y relacionada con \(f\) por la ecuación

Para \(c = 3\) \quad

45 EJEMPLOS

a)

\(I = 2\)

b)

\(I = 6\)

c)

\(I = 4\)

d)

\(I = 6\)

46 EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcular

1)   

2)   

3)   

47 RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) \(I = -6\)   

2) \(I = 8\)

3) \(I = 6\)

48 INTEGRAL DE FUNCIONES MAS GENERALES.

DEFINICIÓN 6

Podemos aplicar el concepto de integral de una función escalonada para definir la integral de funciones más generales. Para ello aproximamos por defecto y por exceso la función f mediante funciones escalonadas.

Se elige una función escalonada arbitraria, designada por g, cuya gráfica está por debajo de la de f, fig.(31) y una función escalonada h cuya gráfica está por encima de la de f. Si consideramos el conjunto de todos los números

y

eligiendo g y h de todas las formas posibles, entonces por la propiedad de comparación obtenemos:

\[\int_{a}^{b} g(x) dx < \int_{a}^{b} h(x) dx .\]

Por lo tanto la integral de f debe estar comprendida entre

y

para cada par g y h de funciones escalonadas de aproximación.

Si existe un número único que cumple con esta propiedad lo definimos como la integral de f en el intervalo [a,b] . El único problema con esta definición es que no toda función f es aproximable por medio de funciones escalonadas. Por ejemplo, la función dada por:

\[f(x) = \frac{1}{x} \quad \text{si} \quad x \neq 0\]

\[f(x) = 0 \quad \text{si} \quad x = 0\]

cuya gráfica es:

no puede ser aproximada por funciones escalonadas en cualquier intervalo que contenga el 0.

Para evitar este problema debemos restringir f a las funciones acotadas en el intervalo [a,b] , esto es, a las funciones f para las cuales existe un número \(M > 0\) tal que

49 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN ACOTADA

DEFINICIÓN 7

Sea f una función definida y acotada en [a,b] y sean g y h dos funciones escalonadas arbitrarias definidas en [a,b] tales que para cada \(x \in [a,b]\)

\[g(x) \le f(x) \le h(x) .\]

Si existe un número I , y sólo uno, tal que

para cada par de funciones escalonadas g y h, que cumplen \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) para cada \(x \in [a,b]\) entonces I se denomina la integral de f en el intervalo \([a,b]\)y se denota con el símbolo:

Cuando I existe se dice que f es "integrable según Riemann en el intervalo [a,b]"(en honor al matemático alemán G.F.B. Riemann, primero en dar a conocer las condiciones necesarias y suficientes para que una función acotada sea integrable).