UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 3 - Integracion aproximada
CONTENIDO
INTEGRACIÓN APROXIMADA
Al finalizar esta Unidad de Aprendizaje, estarás en condiciones de:
. Calcular integrales mediante métodos aproximados.
EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE N° 6
Al finalizar esta Experiencia de Aprendizaje serás capaz de:
. Calcular una integral en forma aproximada aplicando la fórmula de los trapecios.
. Calcular una integral en forma aproximada aplicando la fórmula de Simpson.
50 INTEGRACIÓN APROXIMADA.
En el cálculo de integrales, ocurre con frecuencia el hecho de no conocer una primitiva del integrando y en consecuencia no podemos aplicar la fórmula de Barrow, en este caso se procede al cálculo de la misma mediante métodos de integración aproximados.
Consideremos entonces el problema, de calcular integrales definidas de la forma \(I=\int _{a}^{b}f(x)dx,\quad \text{donde}\quad y=f(x)\) es una función real dada por su expresión analítica o bien mediante una tabla de valores correspondientes a valores de la variable x, equidistantes, obtenidos al dividir el intervalo de integración (a,b) en n partes iguales.
51 FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS.
Interpretando la integral \(I=\int _{a}^{b}f(x)dx\)como el área de la superficie encerrada por la curva \(y=f(x)\), el eje 0x de las abscisas y las ordenadas correspondientes a \(x=a,\; y \;x=b\)
Suponiendo, el intervalo (a,b) dividido en n partes iguales de longitudes \(\frac{b-a}{n}\) mediante los puntos de abscisas
\[x_{0}=a,\;x_{1}=\frac{b-a}{n}+a,\;x_{2}=\frac{2(b-a)}{n}+a,\ldots ,x_{n-1}=\frac{(n-1)(b-a)}{n}+a,\] \[x_{n}=b=\frac{n(b-a)}{n}+a,\]obtenemos los puntos de
\[P_{0},P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n-1},P_{n}\]de ordenadas
\[y_{0}=f(x_{0}),\;y_{1}=f(x_{1}),\ldots ,y_{n-1}=f(x_{n-1}),\;y_{n}=f(x_{n})\]podemos considerar la integral I, como la suma de las áreas de las superficies de
\[a P_{0} P_{1} X_{1}, X_{1} P_{1} P_{2} X_{2},\ldots , X_{n-1} P_{n-1} P_{n} X_{n}\]
y cada una de estas áreas parciales aproximadas por el trapecio de los mismos vértices.
Puesto que el área de un trapecio se obtiene multiplicando la semi-suma de las longitudes de las bases por la longitud de la altura h que vale \(h=\frac{b-a}{n}\), obtenemos
\[\text{Area}\;a P_{0}P_{1}x_{1}=\frac{1}{2}(y_{0}+y_{1})h\] \[\text{Area}\;x_{1}P_{1}P_{2}x_{2}=\frac{1}{2}(y_{1}+y_{2})h\] \[\text{Area}\;x_{n-1}P_{n-1}P_{n}x_{n}=\frac{1}{2}(y_{n-1}+y_{n})h\]luego, sumando las áreas de estos trapecios, obtenemos que:
\[\int _{a}^{b}f(x)dx=\frac{1}{2}h(y_{0}+2y_{1}+\ldots + 2y_{n-1}+y_{n}),\]es decir, designando con
\[E=y_{0}+y_{n}\](suma de las ordenadas en los extremos del intervalo (a,b))
\[\int _{a}^{b}f(x)dx=\frac{1}{2}h[(y_{0}+y_{n})+2(y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n-1})]\]es decir
\[\int _{a}^{b}f(x)dx\approx h[\frac{1}{2}E+\sum _{i=1}^{n-1}y_{i}]\]que es la fórmula de los trapecios.
52 EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS.
Calculamos
\[I=\int _{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}\]En este caso
\[(a,b) = (0,1)\] \[f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\]Dividamos el intervalo (0,1) en 10 partes iguales de longitudes
\[h=\frac{1-0}{10}=\frac{1}{10}\]
Construyamos la tabla
| 1 | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1 |
| \[\frac{1}{\sqrt{1+x^{3}}}\] | 1 | 0,9999 | 0,9970 | 0,9969 | 0,9699 | 0,9428 | 0,9074 | 0,8629 | 0,8132 | 0,7605 | 0,7071 |
E = 1 + 0,7071 = 1,7071 \quad \text{y}
\text{Entonces} \quad \sum_{i=1}^{5} y_i = 0,9999 + 0,9970 + 0,9969 + 0,9699 + 0,9428 + 0,9074 + 0,8629 + 0,8132 + 0,7605 = 7,7505 \
La Fórmula de los trapecios nos proporciona:
\[\int _{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1+x^{3}}}\approx 0,1(\frac{1,7071}{2}+7,7505)=0,1(0,8535+7,7505)\] \[=0,1 x 8,604\] \[\int _{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1+x^{3}}}\approx 0,8604\]53 FÓRMULA DE SIMPSON
En la obtención de la Fórmula de los Trapecios hemos sustituido los arcos de curva por las cuerdas que unen los extremos de los puntos \(P_{0},P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}\)
. Podemos obtener una mejor aproximación sustituyendo cada arco de la curva de ecuación \(y=f(x)\)
correspondientes a tres valores
\[x_{i-1},x_{i},x_{i+1}\]por un arco de parábola.
A los fines de deducción de la expresión de la Fórmula de Simpson determinamos en primer lugar el área encerrada entre el eje Ox, la parábola de eje vertical que pasa por \(P_{0},P_{1},P_{2}\) y las ordenadas correspondientes a los puntos
\[x_{0},x_{1},x_{2}\]
Supongamos que:
\[P_{0},P_{1},P_{2}\]tienen abscisas equidistantes y que el eje de ordenadas pasa por el punto intermedio \(P_{1}\). La parábola del eje vertical tiene por ecuación \(y=ax^{2}+bx+c\) y puesto que esta parábola pasa por \(P_{0},P_{1},P_{2}\), tenemos que las coordenadas \((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\), satisfacen la ecuación de la parábola, luego:
\[\text{(i)}\;y_{0}=a(-h)^{2}+b(-h)+c=ah^{2}-bh+c,\] \[\text{(ii)}\;y_{1}=a0^{2}+b0+c=c\] \[\text{(iii)}\;y_{2}=a(h)^{2}+b(+h)+c=ah^{2}+bh+c,\]luego el área vale
\[\int _{-h}^{h}(ax^{2}+bx+c)dx=a\frac{x^{3}}{3}+b\frac{x^{2}}{2}+cx\Big|_{-h}^{h}\] \[=a\frac{h^{3}}{3}+b\frac{h^{2}}{2}+ch-(-a\frac{h^{3}}{3}+b\frac{h^{2}}{2}-ch)=\] \[=\frac{2}{3}ah^{3}+2ch\]Pero, observando que:
\[\frac{1}{3}h(y_{0}+4y_{1}+y_{2})=\frac{1}{3}h(ah^{2}-bh+c+4c+ah^{2}+bh+c)=\] \[=\frac{1}{3}h(2ah^{2}+6c)=\frac{2}{3}ah^{3}+2ch=\int _{-h}^{h}(ax^{2}+bx+c)dx\]luego si \(y=ax^{2}+bx+c\), se tiene que:
\[\int _{-h}^{h}ydx=\frac{1}{3}h(y_{0}+4y_{1}+y_{2})\]y observemos que para hallar el área encerrada por la parábola, no se necesitan conocer las 3 ordenadas equidistantes \(y_{0},y_{1},y_{2}\)
Entonces, considerando la fig. (37), y suponiendo que n es par, para cada tres puntos consecutivos consideran la parábola vertical, que es aproximación de \(y=f(x)\) en el intervalo correspondiente. En estas condiciones, el área encerrada por la curva es una aproximación del área de la parábola y el de ésta viene dada por la fórmula:
\[\frac{1}{3}h(y_{0}+4y_{1}+y_{2})\]Así obtenemos las siguientes expresiones:
Área correspondiente al intervalo de extremos
\[x_{0},x_{1},x_{2}=\frac{1}{3}h(y_{0}+4y_{1}+y_{2})\]Área correspondiente al intervalo de extremos
\[x_{2},x_{3},x_{4}=\frac{1}{3}h(y_{2}+4y_{3}+y_{4})\]Área correspondiente al intervalo de extremos
\[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}=\frac{1}{3}h(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})\]Sumando estas áreas y denotando con:
E: suma de las ordenadas extremas
\[y_{0},y_{n}\]I: suma de las ordenadas de rango impar
\[y_{1},y_{3},y_{5}\ldots\]P: suma de las ordenadas de rango par
\[y_{2},y_{4},y_{6}\ldots\]obtenemos la aproximación del área encerrada por la curva \(y=f(x)\), las ordenadas en \(x=a,x=b\) y el eje de las x: \(A=\frac{1}{3}h(E+4I+2P)\)
obsérvese que aparece el sumando 2P dado que aparece la suma:
\[y_{2}+y_{4}+y_{6}+\ldots +y_{n-2}+y_{n-2}=2P\]54 EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE SIMPSON.
Calcular:
\[\int _{2}^{10}\text{Ln}|x|dx\]En primer lugar, calculamos esta integral, integrando por partes:
\[\int \text{Ln}|x|dx=\int 1\cdot \text{Ln}|x|dx=x\text{Ln}|x|-\int x\frac{1}{x}dx\] \[=x\text{Ln}x-x=x(\text{Ln}x-1),\;\text{luego}\] \[\int _{2}^{10}\text{Ln}|x|dx=x(\text{Ln}|x|-1)\Big|_{2}^{10}=10(\text{Ln}10-1)-2(\text{Ln}2-1)\] \[=10\text{Ln}10-10-2\text{Ln}2+2\] \[=10\text{Ln}10-2\text{Ln}2-8\]y usando tablas de logaritmos naturales
\[\int _{2}^{10}\text{Ln}xdx=10 x 2,3026-2 x 0,6931-8=23,026-1,3862-8=\] \[=15,0260-1,3862=13,6398,\]obtenemos:
\[\int _{2}^{10}\text{Ln}|x|dx=13,6398\]Apliquemos la fórmula de Simpson, utilizando tablas de logaritmos naturales:
| \[x\] | \[\text{E (Ln x)}\] | \[\text{I}\] | \[\text{P}\] |
| 2 | 0,6931 | ||
| 3 | 1,0986 | ||
| 4 | 1,3863 | ||
| 5 | 1,6094 | ||
| 6 | 1,7918 | ||
| 7 | 1,9459 | ||
| 8 | 2,0794 | ||
| 9 | 2,1972 | ||
| 10 | 2,3026 | ||
| Sumas | 2,9957 | 6,8511 | 5,2575 |
| 4 | 2 | ||
| 2,9957 | 27,4044 | 10,5150 |
Aplicando la fórmula de Simpson:
\[\int _{2}^{10}\text{Ln}xdx\approx \frac{1}{3}\cdot 1\cdot (2,9957+27,4044+10,5150)=\frac{1}{3}\cdot 40,9151\]luego
\[\int _{2}^{10}\text{Ln}|x|dx=13,6383\]donde podemos comparar con el resultado antes obtenido y la diferencia entre los 2 valores es: \(13,6398-13,6383=0,0015\)
55 EJERCICIOS PROPUESTOS:
1) Usando la fórmula de los trapecios evalúe la integral
\[I=\int _{0}^{4}x^{2}dx\]2) Use la fórmula de Simpson para evaluar aproximadamente la integral
\[\int _{0,2}^{1,4}\frac{\text{sen}x}{x}dx\]3) Un gas se expande en un cilindro de sección constante cerrado por un pistón móvil. Si la ley de expansión es
\[pV^{\gamma}=\text{constante}\], y los valores iniciales y finales de la presión y el volumen son
\(P_{1},V_{1}\) y \(P_{2},V_{2}\)
respectivamente, pruebe que el trabajo realizado en la expansión es:
\[\frac{P_{1}V_{1}-P_{2}V_{2}}{\gamma-1}\]Las lecturas del volumen y la presión durante la expansión se encuentran en la siguiente tabla:
| \[V\] | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| \[P\] | 500 | 305 | 212 | 159 | 127 | 104 | 88 | 76 | 67 | 59 | 53 |
Use la fórmula de Simpson para hallar el trabajo realizado y deduzca el valor de \(\gamma\) para el gas.
56 RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Dividimos el intervalo de integración en 10 partes iguales, con \(\Delta x = 0,4\)
obteniendo la siguiente tabla:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| x | 0 | 0,4 | 0,8 | 1,2 | 1,6 | 2,0 | 2,4 | 2,8 | 3,2 | 3,6 | 4,0 |
| \[x^{2}\] | 0 | 0,16 | 0,68 | 1,44 | 2,56 | 4,0 | 5,76 | 7,84 | 10,24 | 12,96 | 16,0 |
Aplicando la fórmula de los trapecios, obtenemos:
\[I=0,4(\frac{0+16}{2}+0,16+0,68+1,44+2,56+\] \[+4,0+5,76+7,84+10,24+12,96)=21,44\]2) Dividimos el intervalo
\[[0,2;\,1,4]\]en 6 partes iguales con
\[\Delta x = 0,2\]Obtenemos la tabla siguiente:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| x | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | 1,2 | 1,4 |
| \[\frac{\text{sen x}}{x}\] | 0,9935 | 0,9735 | 0,9410 | 0,8968 | 0,8415 | 0,7767 | 0,7039 |
Aplicando la fórmula de Simpson obtenemos:
\[I\approx \frac{0,2}{3}[0,9935+0,7039+4(0,9735+0,8968+0,7767)+\] \[+2(0,9410+0,8415)]=1,0567\]* Hemos indicado con punto y coma la separación de los extremos del intervalo para evitar confusión con la coma de la expresión decimal.
(constante).
Trabajo W realizado en la expansión está dado por:
\[W=\int _{v_{1}}^{v_{2}}pdv=\int _{v_{1}}^{v_{2}}\frac{c}{v^{\gamma}}dv=\frac{cv^{1-\gamma}}{1-\gamma}\Big|_{v_{1}}^{v_{2}}\] \[=\frac{1}{\gamma - 1}(cv_{1}^{1-\gamma}-cv_{2}^{1-\gamma})=\frac{1}{\gamma-1}(p_{1}v_{1}-p_{2}v_{2})\]El trabajo hecho por la expansión de
\[v_{1}=2\]a
\[v_{2}=12\]es igual al área bajo la curva en la figura entre las ordenadas \(p_{1}=500\) y \(p_{2}=53\), entonces usando la fórmula de Simpson obtenemos:
\[W\approx \frac{1}{3}\cdot 1\cdot [500+53+2(212+127+88+67)+4(305+159+104+76+59)]\] \[W\approx 1451\]y como
\[W=\frac{1}{\gamma-1}(p_{1}v_{1}-p_{2}v_{2})=\frac{1}{\gamma-1}(1000-636)\] \[=\frac{1}{\gamma-1}364\]Despejando \(\gamma\) obtenemos:
\[\gamma=1+\frac{364}{1451}=1,251\]57 TABLA DE INTEGRALES
1.
\[\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\qquad (a\neq -1)\]2.
\[\int \frac{dx}{x}=\text{Ln}|x|+C\]3.
\[\int \text{sen}\,x\,dx=-\text{cos}\,x+C\]4.
\[\int \text{cos}\,x\,dx=\text{sen}\,x+C\]5.
\[\int \text{sec}^{2}\,x\,dx=\text{tg}\,x+C\]6.
\[\int \text{cosec}^{2}\,x\,dx=-\text{cotg}\,x+C\]7.
\[\int \text{tg}\,x\,dx=-\text{Ln}\,|\text{cos}\,x|+C\]8.
\[\int \text{cotg}\,x\,dx=\text{Ln}\,|\text{sen}\,x|+C\]9.
\[\int e^{x}\,dx=e^{x}+C\]10.
\[\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\text{Ln}|a|}+C\]11.
\[\int \frac{dx}{1+x^{2}}=\text{arctg}\,x+C\]12.
\[\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\text{arctg}\,\frac{x}{a}+C\]13.
\[\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\text{Ln}|\frac{a+x}{a-x}|+C\]14.
\[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\text{arcsen}\,x+C\]15.
\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\text{arcsen}\,\frac{x}{a}+C\]16.
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}=\text{Ln}\,|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}|+C\]58 AUTOEVALUACIÓN
Con el fin de que verifiques el dominio alcanzado en las Unidades 2 y 3 te presentamos una prueba a modo de autoevaluación.
INSTRUCCIONES
1.- Cada pregunta consta de una proposición seguida de varias alternativas de respuestas, de las cuales sólo una es correcta.
2.- Selecciona la alternativa correcta.
3.- Una vez hecha la selección de tu respuesta encierra en un círculo la letra correspondiente.
UNIDADES 2 y 3. MODULO I
1) Calcular
\[I=\int _{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}}\]A. -1
B. 1
C. -1/2
D. 1/2
E. 2
2) Evaluar la siguiente integral
\[I=\int _{1}^{2}2[x+1]dx\]A. 5
B. 4
C. -10
D. -5
E. 20
3) Evaluar la siguiente integral
\[I=\int _{-1}^{3}\{[x]+[x+\frac{1}{2}]\}dx\]A. 9
B. -3
C. 3
D. -6
E. 6
4) Usando el método de los trapecios estime la siguiente integral.
\[\int _{0}^{1}e^{-x^{2}}dx\quad \text{tomando n = 10.}\]A. 0,746
B. 0,749
C. 0,745
D. 0,747
E. 0,748
5) Usando el método de los trapecios estime la siguiente integral
\[\int _{0}^{1}x\text{Lnx}\,dx\quad \text{tomando n = 10}\]A. -0,247
B. 0,246
C. -0,246
D. -0,245
E. 0,245
6) Usando el método de Simpson estime la siguiente integral
\[\int _{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{dx}{2+\text{sen}\,x},\quad \text{tomando n = 4}\]A. -1,8076
B. 1,8077
C. -1,8077
D. 1,8076
E. 1,8078
7) Usando el método de Simpson estime la siguiente integral.
\[\int _{0}^{1}e^{-x^{2}}dx\quad \text{tomando n = 10.}\]A. 0,74685
B. -0,74583
C. 0,74583
D. -0,74685
E. 0,74684
UNIDADES 2 y 3. MODULO I
Cuadro de Especificaciones
| Pregunta | Respuesta | Objetivo | Secciones |
|---|---|---|---|
| 1 | B | 5 | 31-34 36-37 |
| 2 | B | 6,7 | 40-47 |
| 3 | E | 6,7 | 40-47 | D
| 4 | A | 8 | 50-56 |
| 5 | D | 8 | 50-56 |
| 6 | B | 9 | 50-56 |
| 7 | C | 9 | 50-56 |
59 DISPOSICIÓN FINAL
Si obtuviste por lo menos 6 respuestas correctas puedes continuar con el estudio de este curso. En caso contrario, revisa las secciones que corresponden a las preguntas que respondiste incorrectamente, dichas secciones aparecen indicadas en el cuadro de especificaciones.
Resumen
Al finalizar este Módulo, has estudiado las nociones de integral definida e indefinida, así como un cierto número de propiedades de las mismas, que nos permiten efectuar cálculos con dichas integrales.
En el estudio de la integral definida comenzamos con el de una función continua, integral ésta que interpretamos como área bajo una curva. Luego damos condiciones necesarias para que una función más general sea integrable en el sentido de Riemann.
Por otro lado, el teorema fundamental del cálculo, las propiedades de la integral y las reglas de integración, nos permiten calcular integrales definidas mediante el conocimiento de una primitiva de la función que estamos integrando. Además, para funciones de las cuales no conocemos alguna primitiva, estudiamos dos métodos numéricos: el de Simpson y el de los Trapecios, que nos permiten aproximar las integrales.
Los tópicos aquí estudiados nos serán muy útiles a los efectos de una variedad de aplicaciones que daremos en el Módulo 2, las cuales conforman una parte importante en la formación matemática de los ingenieros.
Objetivos Específicos
Para haber logrado los objetivos de este Módulo, debes estar en condiciones de:
- Aplicar las propiedades de la integral.
- Calcular integrales mediante el método de sustitución o cambio de variables.
- Calcular integrales por medio del método de integración por partes.
- Calcular integrales definidas mediante la fórmula de Barrow.
- Calcular integrales impropias.
- Calcular integrales de funciones escalonadas.
- Aplicar las propiedades de la integral de una función escalonada.
- Calcular Integrales mediante el método de la fórmula de los trapecios.
- Calcular integrales mediante el método de la fórmula de Simpson.