CONTENIDO

INTEGRAL DEFINIDA, PROPIEDADES, MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.

Al finalizar esta Unidad de Aprendizaje, estarás en condiciones de:
. Adquirir el concepto de Integral.
. Adquirir el conocimiento de los métodos fundamentales de Integración.
. Calcular primitivas.
. Calcular integrales definidas.

EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE N° 1

Al finalizar esta Experiencia de Aprendizaje serás capaz de:

. Adquirir el concepto de Integral.

. Interpretar la integral como el área encerrada entre la gráfica de una función continua, las rectas de ecuaciones \(x=a\) , \(x=b\) y el eje \(0x\).

. Aplicar las propiedades de la Integral.

1 RECUENTO HISTÓRICO.

Se atribuye a Eudoxio (matemático, filósofo y astrónomo griego -406, -355) los primeros cálculos de áreas y volúmenes mediante el uso de sumas, donde cada uno de sus términos tiende a cero cuando el número de ellos crece indefinidamente. Posteriormente, Arquímedes (matemático griego -287, -212) utiliza este método en el cálculo de numerosos problemas de áreas, volúmenes y centros de gravedad. Hubo que esperar hasta la época de Johann Kepler (matemático y astrónomo alemán 1571-1630) para que los trabajos de Arquímedes fueran continuados. Lentamente, durante el siglo XVII, los métodos conocidos se extienden a problemas geométricos y es con Newton (físico, matemático y astrónomo inglés 1642-1727) y Gottfried Leibnitz (filósofo y matemático alemán 1646-1727) cuando se llega a la creación del cálculo infinitesimal.

Históricamente el concepto de integral definida fue desarrollado para representar el área encerrada por curvas. Esta equivalencia geométrica nos ayuda a visualizar el significado de las expresiones analíticas que ocurren en la definición y manipulación de integrales.

2 LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA BAJO UNA CURVA.

En el curso de Mat. II hemos estudiado el problema de hallar tangentes a una curva dada, volvamos a tomar una curva C, como la de la fig.(1), que es la gráfica de una función continua y positiva.

Tenemos la idea intuitiva de que la región encerrada entre la curva C, el eje Ox y las rectas \(x=a\), \(x=b\) posee un "área", la cual mide el número de unidades cuadradas que se encuentran dentro de la región, cuando se toma por unidad el cuadrado de lado unidad. Hasta ahora sólo sabemos calcular áreas de figuras elementales como rectángulos, triángulos y otras, pero aquí confrontaremos el problema de que nuestra región está limitada por una curva.

Sea f una función continua y definida en [a,b]. Supongamos además que: \(\forall x \in [a,b]\) , \(f(x) > 0\) , ver fig. (2) y procedamos a hallar un valor aproximado del área encerrada por la región limitada por la gráfica de f, el eje 0x y las rectas de ecuaciones \(x=a\) y \(x=b\).

Dividamos el segmento [a,b] en n partes iguales cada una de ellas con longitud \(\frac{(b-a)}{n}\)

\[x_0 = a, x_1 = a + \frac{(b-a)}{n}, x_2 = a + \frac{2(b-a)}{n}, \dots, x_k = a + \frac{k(b-a)}{n}, \dots, x_n = b\]

Hagamos una división particular del segmento [a,b] tomando \(n = 6\)

Cada rectángulo tiene base de longitud igual a \(\frac{(b-a)}{6}\) y las alturas de longitudes \(f(a), f(x_2), f(x_3), f(x_4), f(x_5)\) , respectivamente.

Llamemos \(I_6\) la suma de sus áreas

\[I_6 = \frac{(b-a)}{6} f(a) + \frac{(b-a)}{6} f(x_1) + \frac{(b-a)}{6} f(x_2) + \frac{(b-a)}{6} f(x_3) + \frac{(b-a)}{6} f(x_4) + \frac{(b-a)}{6} f(x_5) =\]

\[= \frac{(b-a)}{6} [f(a) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5)] =\]

\[= \frac{(b-a)}{6} [f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5)] = \sum_{k=0}^{5} \frac{(b-a)}{6} f(x_k)\]

En el caso general tendremos:

\[I_n = \frac{(b-a)}{n} [f(x_0) + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1})] =\]

\[= \sum_{k=1}^{n} \frac{(b-a)}{n} f(x_k)\]

es evidentemente \(I_n\) un valor aproximado del área encerrada por la región plana limitada entre la gráfica de f, el eje Ox y las rectas \(x=a\), \(x=b\).

Tomemos otra vez un caso particular con \(n = 6\). Igual que antes la base de cada rectángulo mide \(\frac{(b-a)}{6}\) y las alturas respectivas son

llamemos \(J_6\) la suma de las áreas rayadas; luego

\[J_6 = \frac{(b-a)}{6} [f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) + f(b)] =\]

\[= \frac{(b-a)}{6} [f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) + f(x_6)] =\]

\[= \sum_{k=1}^{6} \frac{(b-a)}{6} f(x_k)\]

En el caso general tendremos:

\[J_n = \frac{(b-a)}{n} [f(x_1) + \dots + f(x_n)] =\]

es también un valor aproximado del área.

PROPOSICIÓN 1

Si

es una función continua en [a,b] las sumas \(I_n, J_n\) tienen límite cuando n crece indefinidamente y además ambos límites tienen el mismo valor.

\[I = \lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} J_n\]

DEFINICIÓN 1

Denominaremos integral definida de la función continua f entre los extremos a y b, al número real

\[I = \lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(b-a)}{n} f(x_k)\]

cada término de la suma:

es de la forma

\[f(x_k)(x_{k+1} - x_k) = f(x_k) \Delta x_k\]

Denotamos a I por:

(notación de Leibnitz).

OBSERVACIÓN 1

La definición de I depende sólo de la función f y de los extremos a y b.

Otra forma de encontrar un valor aproximado para I es la siguiente: consideramos una subdivisión arbitraria del segmento [a,b] mediante los puntos de abscisas

y sean \(u_j\) tales que:

\[x_j < u_j < x_{j+1}\]

entonces formemos la siguiente suma

\[\sum_{j=0}^{n-1} (x_{j+1} - x_j) f(u_j)\]

esta suma también es un valor aproximado de I.

3 EJEMPLO: CÁLCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA POR DEFINICIÓN.

Calcular:

\[\int_{0}^{1} x^2 dx\]

Dividimos el intervalo

en n partes iguales

\[0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}, \dots, \frac{n-1}{n}, 1\]

Cada subintervalo tiene longitud

\[\Delta x_i = \frac{i}{n} - \frac{i-1}{n} = \frac{1}{n}\]

Para cada subintervalo escogemos el extremo derecho del subintervalo

\[x_i = \frac{i}{n}\]

El valor de la función

en \(x_i\) es

\[f(x_i) = \frac{i^2}{n^2}\]

Formamos la suma

\[J_n = (\frac{1}{n})^2 \frac{1}{n} + (\frac{2}{n})^2 \frac{1}{n} + \dots + (\frac{i}{n})^2 \frac{1}{n} + \dots + (\frac{n}{n})^2 \frac{1}{n}\]

\[= \sum_{i=1}^{n} (\frac{i}{n})^2 \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n^3} \frac{n}{6} (n+1)(2n+1)\]

donde

\[\lim_{n \to \infty} J_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \frac{1}{3}\]

4 DEFINICIÓN 2

Llamaremos área algebraica limitada por la gráfica de la función f, el eje Ox y las rectas de ecuaciones \(x=a\), \(x=b\) al valor de la integral definida

\[I = \int_{a}^{b} f(x) dx\]

NOTA 1

Este valor puede ser positivo, negativo o nulo.

5 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

1)

2)

3)

4)

5)

6) Si \(a \le b, f(x) \ge 0\), entonces

7) Si \(a \le b, f(x) \ge g(x)\), entonces

8)

NOTA 2

En la definición de integral hemos supuesto \(f(x) \ge 0\) , sin Sin embargo la definición que hemos dado es independiente de cualquier suposición el signo de f por lo cual podemos tomar una función continua f arbitraria. Otra restricción que habíamos hecho inicialmente es \(a \le b\) sin embargo la definición también vale si \(a > b\)

6 EJEMPLOS:

a) Sabiendo que

calcular

Se tiene que:

\[\int_{0}^{1} (x^2 + x) dx = \int_{0}^{1} x^2 dx + \int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\]

b) Sabiendo que

calcular

Se tiene que

\[\int_{0}^{2} x dx = \int_{0}^{1} x dx + \int_{1}^{2} x dx = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2\]

c) Sabiendo que

calcular

Se tiene que:

\[\int_{0}^{1} 4x^2 dx = 4 \int_{0}^{1} x^2 dx = 4 (\frac{1}{3}) = \frac{4}{3}\]

7 LA INTEGRAL COMO FUNCIÓN DEL EXTREMO SUPERIOR. (INTEGRAL INDEFINIDA).

Hemos visto que la integral de una función f depende de los extremos a yb. Consideremos la función f, continua en [a,b]

\[f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\]

tomemos el elemento fijo y

y definamos la siguiente función:

\[F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt\]

F es una función real de variable real y además continua.

La función F se denomina una integral indefinida de la función f.

Además F es una función derivable y cumple que

A la función F también se le llama una primitiva de f

Si

tendremos que

\[\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{x} f(t) dt + \int_{x}^{b} f(t) dt\]

\[= - \int_{x}^{a} f(t) dt + \int_{x}^{b} f(t) dt\]

luego cualquier integral definida particular se encuentra a partir de la integral indefinida F (este resultado lo enunciaremos como una proposición después de los métodos para el cálculo de primitivas en la sección 26).

En particular, puede expresarse cualquier otra integral indefinida con límite inferior c en términos de F

\[\int_{c}^{x} f(t) dt = F(x) - F(c)\]

luego, cualquier integral indefinida difiere de la integral indefinida F sólo en una constante.

NOTACIÓN

Denotamos a la primitiva de una función f por

\[F(x) = \int f(x) dx + C\]

EJEMPLOS:

\[\int \cos x dx = \text{sen } x + C\]

\[\int x dx = \frac{x^2}{2} + C\]

\[\int \sec^2 x dx = \text{tg } x + C\]

8 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.

a)

b)

c)

d)

9 EJEMPLOS:

a) Sabiendo que

se tiene

b) Sabiendo que

entonces se tiene:

\[\int (\sec^2 x + \frac{1}{x}) dx = \int \sec^2 x dx + \int \frac{1}{x} dx =\]

\[= \text{tg } x + C + \text{Ln } |x| + D = \text{tg } x + \text{Ln } |x| + E .\]

donde

.

10 EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Calcular por definición la integral

\[\int_{0}^{1} e^x dx\]

2) Calcular, aplicando las propiedades de la integral definida y sabiendo que

\[\int_{0}^{1} x^3 dx = \frac{1}{4} \text{ y } \int_{1}^{2} x^3 dx = \frac{15}{4}\]

la siguiente integral

\[I = \int_{2}^{0} -4x^3 dx\]

3) Calcular, aplicando las propiedades de la integral indefinida.

\[I = \int (4x^3 + \frac{1}{x} - \text{sen } x) dx\]

sabiendo que

\[\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_1 , \int \frac{1}{x} dx = \text{Ln } |x| + C_2 \text{ y } \int \text{sen } x dx = -\cos x + C_3 .\]

11 RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Dividimos el intervalo \([0,1]\) en n partes iguales

\[0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}, \dots, \frac{n-1}{n}, 1\]

Cada subintervalo tiene longitud

Escogemos como \(x_i\) el extremo izquierdo del correspondiente subintervalo.

Entonces

es la suma de los términos de una progresión geométrica

y

De aquí que

Calculemos

\[\lim_{n \to \infty} n (e^{\frac{1}{n}} - 1) = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{n}} (-\frac{1}{n^2})}{-\frac{1}{n^2}}\]

\[\lim_{n \to \infty} n (e^{\frac{1}{n}} - 1) = 1\]

Así

2) \(I = 16\)
3) \(I = x^4 + \text{Ln } |x| + \cos x + C\)

EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE N° 2

Al finalizar esta Experiencia de Aprendizaje, serás capaz de:

. Calcular integrales mediante el método de sustitución o cambio de variable.

. Calcular integrales por medio del método de integración por partes.

12 CÁLCULO DE PRIMITIVAS.

Vamos ahora a estudiar algunos métodos que nos permitirán calcular integrales indefinidas de una función dada.

Por ejemplo, si queremos calcular la primitiva de la función:

\[f(x) = 3e^x + \text{sen } x\]

procedemos de la siguiente forma:

\[F(x) = \int f(x) dx + C_0\]

\[= \int (3e^x + \text{sen } x) dx + C_0\]

Por la propiedad b) de la Sección 8 tenemos que:

\[F(x) = \int 3e^x dx + C_1 + \int \text{sen } x dx + C_2\]

Haciendo uso de la propiedad c) de la Sección 8 queda:

\[F(x) = 3 \int e^x dx + \int \text{sen } x dx + C\]

donde

buscando en la tabla de integrales anexa al final de este módulo, las primitivas de

tenemos que:

\[F(x) = 3e^x - \cos x + C .\]

Es decir, para el cálculo de la primitiva de la función:

\[f(x) = 3e^x + \text{sen } x\]

nos fue suficiente usar las propiedades b) y c) de la Sección 8 y el conocimiento de las primitivas de:

\[\int e^x dx \text{ y } \int \text{sen } x dx\]

Nota: Es recomendable familiarizarse con la tabla de integrales antes de continuar con el estudio de los métodos de cálculo de primitivas. Un ejercicio interesante consiste en verificar la validez de las fórmulas de la tabla, mediante derivación y usando las propiedades enunciadas en la sección 8.

Consideremos ahora la función

\[g(x) = 2x e^{x^2}\]

y queremos calcular:

\[G(x) = \int g(x) dx + C\]

Como podemos notar, el conocimiento de las primitivas elementales que aparecen en la tabla de integración y el conocimiento de las propiedades de la integral indefinida no son suficientes para calcular

\[\int 2x e^{x^2} dx\]

¿Cómo resolvemos este inconveniente?

La respuesta a esta interrogante puede ser dada por el método del cambio de variable. Este método consiste en introducir una nueva variable bajo el signo integral de tal forma que obtengamos la integral de una función la cual pueda ser calculada con la ayuda de tablas y el uso de las propiedades de la integral.

Si, en nuestro caso hacemos el cambio \(x^2 = y\) , y sabiendo que:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d(x^2)}{dx} = 2x\]

de lo cual se infiere

luego

\[\int 2x e^{x^2} dx = \int e^{x^2} (2x) dx = \int e^y dy = e^y + C\]

No obstante el problema es encontrar una primitiva para \(g(x) = 2x e^{x^2}\) es decir, una función G tal que \(G'(x) = g(x)\) Sin embargo nuestro proceso nos condujo a una función que depende de la variable y. Este nuevo inconveniente se resuelve de una manera bastante natural, basta con reemplazar la variable y por su valor en función de la variable x.

Esto es:

\[y = x^2 \quad \text{luego} \quad e^y = e^{x^2}\]

y por consiguiente

\[G(x) = \int 2x e^{x^2} dx + C = e^{x^2} + C\]

\[G(x) = e^{x^2} + C .\]

Consideremos ahora el siguiente problema:

Sea la función

y determinemos una primitiva de f

\[F(x) = \int x e^{-x^2} dx + C\]

usemos el cambio de variable

\[y = -x^2\]

luego

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d(-x^2)}{dx} = -2x\]

de donde:

\[dy = -2x dx\]

como en el integrando no aparece la expresión

, se nos presenta una pequeña complicación, la cual, si vemos con atención, es fácil de resolver.

Nuestra integral

\[\int x e^{-x^2} dx\]

queremos convertirla en otra integral de la forma:

\[\int e^y dy\]

la cual sabemos integrar; y puesto que hemos llamado

\[y = -x^2\]

tenemos:

\[e^{-x^2} = e^y\]

el resto del integrando lo conforma la expresión

\[x dx\]

pero sabemos que:

\[dy = -2x dx .\]

Despejando de aquí la expresión \(x dx\) que aparece en el integrando, obtenemos:

\[-\frac{1}{2} dy = x dx .\]

Sustituyendo ahora

por \(e^y\) y \(x dx\) por

en la integral original, tendremos:

\[\int x e^{-x^2} dx = \int e^y (-\frac{1}{2}) dy .\]

Usando la propiedad c) de la Sección 8, e integrando:

\[\int x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2} \int e^y dy\]

\[= -\frac{1}{2} e^y + C\]

sustituyendo ahora y por su valor en función de x obtenemos finalmente

\[\int x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C\]

y por consiguiente

\[F(x) = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C .\]

13 FÓRMULA DEL CAMBIO DE VARIABLE.

En general, el procedimiento a seguir es el siguiente: supongamos que es preciso hallar la integral \(\int f(x) dx\), pero no podemos elegir inmediatamente la función primitiva para f.

Realicemos el cambio de variable \(x = \varphi(t)\) donde \(\varphi(t)\) es una función continua, lo mismo que su derivada y tiene función inversa. Entonces \(dx = \varphi'(t) dt\)

y se verifica que:

\[\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt . \quad \text{Fórmula del cambio de variable}\]

Aquí se sobreentiende que la variable t será sustituida después de la integración del segundo miembro de la igualdad, por su expresión en función de x (la función \(\varphi\) se procura elegir de tal manera, que el segundo miembro de la fórmula tome una forma más adecuada para la integración).

OBSERVACIÓN 2

A veces es preferible una forma más adecuada para la integración de la variable en la forma \(t = f(x)\) y no en \(x = \varphi(t)\). Ilustrémoslo con un ejemplo: supongamos que queremos calcular la integral

\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx\]

llamando

\[f(x) = t\]

entonces:

\[f'(x) dx = dt ,\]

y

14 EJEMPLOS:

a) Calcular

Hagamos la sustitución \(t = \text{sen } x\) , \(dt = \cos x dx\), entonces:

\[\int \sqrt{\text{sen } x} \cos x dx = \int \sqrt{t} dt = \int t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{2t^{\frac{3}{2}}}{3} + C =\]

\[= \frac{2}{3} \text{ sen}^{\frac{3}{2}} x + C\]

b) Calcular \(\int \frac{x dx}{1+x^2}\)

Sea \(t = 1 + x^2\), entonces \(dt = 2x dx\), y, despejando \(x dx\) queda:

, luego

\[\int \frac{x dx}{1+x^2} = \int \frac{1}{2} \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \text{Ln } |t| + C =\]

\[= \frac{1}{2} \text{Ln } |(1 + x^2)| + C .\]

15 SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

1) Si la integral contiene el radical \(\sqrt{a^2 - x^2}\) puede hacerse la sustitución

, luego se tiene:

\[x^2 = a^2 \text{ sen}^2 t \quad \text{y} \quad a^2 - x^2 = a^2 - a^2 \text{ sen}^2 t = a^2 (1 - \text{sen}^2 t) = a^2 \cos^2 t\]

por lo tanto

\[\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t .\]

2) Si la integral contiene el radical \(\sqrt{x^2 + a^2}\) se hace

de donde obtenemos

\[\sqrt{x^2 + a^2} = a \sec t .\]

3) Si la integral contiene el radical \(\sqrt{x^2 - a^2}\) se hace

de donde

\[\sqrt{x^2 - a^2} = a \text{ tg } t .\]

EJEMPLO:

, hacemos

y por consiguiente

\[dx = \frac{dt}{\cos^2 t}\]

luego,

\[\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2} dx = \int \frac{\sqrt{\text{tg}^2 t + 1}}{\text{tg}^2 t} \frac{dt}{\cos^2 t} = \int \frac{\sec t \cos^2 t}{\text{sen}^2 t} \frac{dt}{\cos^2 t} =\]

\[= \int \frac{dt}{\text{sen}^2 t \cos t} = \int \frac{(\text{sen}^2 t + \cos^2 t) dt}{\text{sen}^2 t \cos t} =\]

\[= \int \frac{\text{sen}^2 t}{\text{sen}^2 t \cos t} dt + \int \frac{\cos^2 t}{\text{sen}^2 t \cos t} dt =\]

\[= \int \sec t dt + \int \frac{\cos t dt}{\text{sen}^2 t} = \text{Ln } |\text{tg } t + \sec t| - \frac{1}{\text{sen } t} + C\]

Observe que en los cálculos anteriores se ha hecho uso de algunas identidades trigonométricas.

16 INTEGRALES DE CIERTAS FUNCIÓNES QUE CONTIENEN UN TRINOMIO CUADRADO.

CASO 1

Queremos calcular la integral

.

Para resolver este tipo de integrales procedemos de la siguiente manera.

Transformemos en forma de una suma o una diferencia de cuadrados, el trinomio del denominador

\[ax^2 + bx + c = a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right)\]

queremos escribir,

como suma o como diferencia de cuadrados

\[x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = (x + h)^2 \pm k^2\]

y tenemos que determinar quiénes son h y k.

luego, tendremos

\[x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^2 + 2xh + h^2 \pm k^2\]

por igualdad de polinomios queda:

\[\frac{b}{a} = 2h \quad \text{de donde} \quad h = \frac{b}{2a} \quad \text{y}\]

\[\frac{c}{a} = h^2 \pm k^2 \quad \text{de donde} \quad \frac{c}{a} - h^2 = \pm k^2 , \text{es decir,}\]

\[\frac{c}{a} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = \pm k^2\]

\[\frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} = \pm k^2 .\]

Si el discriminante \(b^2 - 4ac > 0\), tendremos el caso

\[x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = (x + h)^2 - k^2 \text{ es decir } .\]

\[x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} \right) .\]

Si el discriminante \(b^2 - 4ac < 0\), tendremos el caso

\[x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = (x + h)^2 + k^2 , \text{ es decir,}\]

\[x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \left( \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} \right)\]

aplicando la propiedad b) quedan dos integrales:

luego,

la segunda integral corresponde a una integral del caso 1 y la primera se resuelve así:

Usamos la propiedad c) de la Sección 8.

Hagamos el cambio

luego,

de donde

donde \(C_1\) es constante.

Vemos por lo tanto que el cálculo de \(I\) se reduce a sumar el resultado obtenido al calcular

como en el caso 1 y el obtenido al calcular \(J\)

EJEMPLOS:

a) Resolver

En este caso

\[a = 2 \quad b = 2 \quad c = 1\]

Seguimos el procedimiento del caso 2

luego, nuestra integral queda expresada así:

y si hacemos en esta última integral el cambio

tendremos que

y haciendo la sustitución queda

que corresponden a las integrales 12 y 13 de la tabla anexa al final del Módulo.

CASO 2

Generalizaremos ahora el caso 1

Sea la integral

\[I = \int \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c} dx\]

transformémosla de la siguiente manera:

agregando y restando \(\frac{Ab}{2a}\) se obtiene:

\[I = \int \frac{\frac{A}{2a}(2ax + b) + (B - \frac{Ab}{2a})}{ax^2 + bx + c} dx\]

Sumando y restando \(\frac{Ab}{2a} = 1\) en el numerador nos queda

\[I = \int \frac{2x + 1 + 1 - 1}{2x^2 + 2x + 1} dx = \int \frac{\frac{2}{4}(4x + 2) + (1 - 1)}{2x^2 + 2x + 1} dx\]

entonces nos queda

\[I = \frac{2}{4} \int \frac{4x + 2}{2x^2 + 2x + 1} dx\]

haciendo el cambio de variable

tenemos que

, sustituyendo en I tenemos:

\[I = \frac{2}{4} \int \frac{dt}{t} = \frac{2}{4} \text{Ln}|t| + C = \frac{2}{4} \text{Ln}|2x^2 + 2x + 1| + C\]

b) Resolver:

\[I = \int \frac{2x - 1}{2x^2 + 3x + 1} dx\]

\[\int \frac{2x - 1}{2x^2 + 3x + 1} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(4x + 3) - \frac{5}{2}}{2x^2 + 3x + 1} dx =\]

\[= \frac{1}{2} \int \frac{(4x + 3) dx}{2x^2 + 3x + 1} - \frac{5}{2} \int \frac{dx}{2x^2 + 3x + 1} + C =\]

\[= \frac{1}{2} \text{Ln}|2x^2 + 3x + 1| - \frac{5}{2} \int \frac{dx}{2(x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2})} + C =\]

(1)

haciendo el cambio:

se tiene:

(2)

donde hemos usado la integral 13 de la tabla de integrales, anexa.

Reescribiendo (2) en función de x y sustituyendo en (1) se obtiene:

\[\int \frac{2x - 1}{2x^2 + 3x + 1} dx = \frac{1}{2} \text{Ln}|2x^2 + 3x + 1| + \frac{5}{2} \text{Ln} \left| \frac{1 + x}{-x + \frac{1}{2}} \right| + C\]

CASO 3

Pasemos a calcular ahora integrales de la forma

\[I = \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}\]

Usando las transformaciones estudiadas en el caso 1, se puede reducir la integral a:

I)

si \(a > 0\) II)

si \(a < 0\)

CASO 4

Pasemos a considerar el cálculo de una integral más general que la presentada en el caso 3.

\[I = \int \frac{Ax + B}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} dx\]

procediendo en el numerador como en el caso 2 obtenemos:

\[I = \int \frac{\frac{A}{2a}(2ax + b) + (B - \frac{Ab}{2a})}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} dx\]

luego

\[I = \frac{A}{2a} \int \frac{(2ax + b) dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} + (B - \frac{Ab}{2a}) \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}\]

donde la segunda integral corresponde al caso 3 y la primera se resuelve usando el cambio

de donde:

y una integral de tabla.

Ejemplos

a)

\[I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{16}}}\]

Sustituyendo

\[dx = \frac{5}{4} \text{senh } t dt\]

\[I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\frac{5}{4} \text{senh } t dt}{\frac{5}{4} \text{senh } t} = \frac{t}{\sqrt{2}} + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{arg cosh } \frac{4x + 1}{5} + C =\]

\[= \frac{1}{\sqrt{2}} \text{Ln} \left| \frac{4x + 1}{5} + \sqrt{\left( \frac{4x + 1}{5} \right)^2 - 1} \right| + C\]

b)

\[I = \frac{3}{2} \int \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx + \frac{7}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + x + 1}}\]

\[I = \frac{3}{2} \cdot 2 \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{7}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}}\]

\[= 3 \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{7}{2} \text{Ln} \left| x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x + 1} \right| + C\]

c) Calcule

\[I = -\frac{1}{2} \int \frac{(-8x + 4) dx}{\sqrt{35 + 4x - 4x^2}} + 3 \int \frac{dx}{\sqrt{35 + 4x - 4x^2}} =\]

\[= - \sqrt{35 + 4x - 4x^2} + \frac{3}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{36}{4} - (x - \frac{1}{2})^2}}\]

\[= - \sqrt{35 + 4x - 4x^2} + \frac{3}{2} \text{arcsen} \left( \frac{1}{3} \left( x - \frac{1}{2} \right) \right) + C .\]

17 INTEGRACIÓN POR PARTES.

Hasta ahora todas las integrales las hemos calculado apelando al método de cambio de variable.

Pasaremos a estudiar otro método de amplio uso para el cálculo de primitivas, el cual tiene en común con el método del cambio de variable el hecho fundamental de reducir una integral dada a una integral calculable por tablas.

FÓRMULA PARA LA INTEGRACIÓN POR PARTES. (F.I.P.P.)

Si \(u\) y \(v\) son dos funciones derivables de \(x\) tenemos que

, y si integramos obtenemos

\[\int d(uv) = \int (udv + vdu) = \int udv + \int vdu\]

de donde obtenemos, haciendo uso de la propiedad d) (sección 8) de la integral indefinida que

y tendremos:

\[\int udv = uv - \int vdu \quad \text{(F.I.P.P)}\]

OBSERVACIÓN 3

a) La fórmula de integración por partes es útil siempre y cuando la integral a resolver se pueda reducir a una integral más sencilla por medio de este procedimiento.

b) Además a veces es necesario para el cálculo de una integral aplicar reiteradas veces la F.I.P.P.

c) Para el uso de la P.I.P.P. es necesario hacer una escogencia adecuada para designar qué parte del integrando corresponde a u y qué parte corresponde a dv.

EJEMPLOS:

a) Calcular

.

Llamemos

entonces

por consiguiente

\[I = \int x \text{ sen } x dx = x (-\cos x) - \int -\cos x dx\]

\[I = -x \cos x + \text{sen } x + C\]

la integración por partes es útil para calcular integrales de la forma

donde P es un polinomio y f es una función trigonométrica, exponencial o logarítmica

b) Resolvamos

Sea

, entonces

con lo cual se tiene

\[\int x^2 \cos x dx = \int udv = uv - \int vdu + C_1 = x^2 \text{ sen } x - 2 \int x \text{ sen } x dx + C_1\]

Sabemos por el ejemplo anterior que

.

Entonces,

\[\int x^2 \cos x dx = x^2 \text{ sen } x + 2x \cos x - 2 \text{ sen } x + C\]

donde

.

18 EJERCICIOS PROPUESTOS:

1)

2)

3)

4)

.

5)

.

6)

.

7)

.

19 RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS:

1) Substituimos

\[- 2x dx = 2t dt\]

\[I = - \int \frac{tdt (1 - t^2)^2}{t} = - \int (1 - 2t^2 + t^4) dt = - \left( t - \frac{2}{3} t^3 + \frac{t^5}{5} \right) + C\]

donde \(t = \sqrt{1 - x^2}\) 2)

3)

4)

.

5)

.

6) Integrando dos veces por partes se obtiene:

.

7)

.

20 INTEGRACIÓN DE FUNCIÓNES RACIONALES.

Tomemos una función

donde P y Q son polinomios de grados n y m respectivamente y

.

Queremos integrar funciones como la f, para esto integraremos fracciones racionales propias, es decir, funciones como la f arriba descrita pero con la condición de que n < m.

Si nuestra función f no cumple con n < m siempre podemos reducir el problema a integrar fracciones racionales propias ya que si efectuamos la división entre los polinomios P y Q obtenemos que

\[P(x) = Q(x) h(x) + r(x)\]

donde r es un polinomio de grado menor que n.

Luego,

\[f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{Q(x) h(x) + r(x)}{Q(x)} = h(x) + \frac{r(x)}{Q(x)}\]

y por consiguiente:

\[\int f(x) dx = \int \left( h(x) + \frac{r(x)}{Q(x)} \right) dx = \int h(x) dx + \int \frac{r(x)}{Q(x)} dx\]

como h es un polinomio, la integral

es fácil de calcular y

es la integral de una fracción racional propia.

Ya anteriormente nos habíamos encontrado con integrales del tipo

\[\int \frac{(Ax + B) dx}{ax^2 + bx + c}\]

observamos que el grado de \(Ax+B\) es uno y el grado del denominador es dos, luego \(\frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}\) es una fracción propia.

Para integrar

descomponemos \(\frac{r(x)}{Q(x)}\) como suma de fracciones parciales, donde los denominadores de estas fracciones se obtienen factorizando \(Q(x)\) como un producto de factores lineales y cuadráticos.

Después que \(Q(x)\) ha sido factorizado en producto de factores lineales y cuadráticos, el método para determinar las fracciones parciales depende de la naturaleza de estos factores.

\[x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) = x(x - 2)(x + 1)\]

luego, queda \(\int \frac{(x - 1) dx}{x(x - 2)(x + 1)}\) pero tenemos que

\[\frac{(x - 1)}{x(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 1}\]

de donde

\[(x - 1) = A(x - 2)(x + 1) + B(x + 1) x + C x (x - 2)\]

en consecuencia

\[(x - 1) = A(x^2 - x - 2) + B(x^2 + x) + C(x^2 - 2x)\]

\[(x - 1) = Ax^2 - Ax - 2A + Bx^2 + Bx + Cx^2 - 2Cx\]

y por igualdad de polinomios queda

luego \(A = \frac{1}{2}\) y

\[\begin{cases} B + C = -\frac{1}{2} \\ B - 2C = \frac{3}{2} \end{cases}\]

\[\begin{cases} -B - C = \frac{1}{2} \\ B - 2C = \frac{3}{2} \end{cases}\]

\[-3C = 2 \]

\[C = -\frac{2}{3}\]

\[B - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2} \rightarrow B = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \rightarrow B = \frac{1}{6}\]

Concluimos que

\[\int \frac{(x - 1) dx}{(x^3 - x^2 - 2x)} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x} + \frac{1}{6} \int \frac{dx}{x - 2} - \frac{2}{3} \int \frac{dx}{x + 1} =\]

\[= \frac{1}{2} \text{Ln}|x| + \frac{1}{6} \text{Ln}|x - 2| - \frac{2}{3} \text{Ln}|x + 1| + C .\]

CASO 1 :

Supongamos el polinomio \(Q(x)\) tal que

\[Q(x) = (x - a_1)(x - a_2) \dots (x - a_n)\]

donde todos los \(a_i\) son distintos entre sí (los \(a_i\) son las raíces de \(Q(x)\)) y además estamos suponiendo que el coeficiente de \(x^n\) es 1.

Luego, podemos escribir

\[\frac{r(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{(x - a_1)} + \frac{A_2}{(x - a_2)} + \dots + \frac{A_n}{(x - a_n)}\]

donde

son constantes que van a ser determinadas.

Por lo tanto

\[\int \frac{r(x)}{Q(x)} dx = \int \left[ \frac{A_1}{(x - a_1)} + \frac{A_2}{(x - a_2)} + \dots + \frac{A_n}{(x - a_n)} \right] dx =\]

\[= A_1 \int \frac{dx}{x - a_1} + A_2 \int \frac{dx}{x - a_2} + \dots + A_n \int \frac{dx}{x - a_n}\]

y cada una de estas integrales se resuelve así:

en

hagamos el cambio

de donde

y sustituyendo obtenemos

\[A_i \int \frac{dt}{t} = A_i \text{Ln}|t| + C = A_i \text{Ln}|x - a_i| + C .\]

EJEMPLO:

\[\int \frac{(x - 1) dx}{x^3 - x^2 - 2x}\]

OBSERVACIÓN 4

En el caso general, los coeficientes

, se calculan por el mismo proceso mediante el cual calculamos los coeficientes A, B y C en el ejemplo del caso 1.

CASO 2

Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos están repetidos.

Supongamos que

es un factor que se repite p veces, entonces a este factor le corresponde la suma de p fracciones parciales:

\[\frac{A_1}{(x - a_1)} + \frac{A_2}{(x - a_1)^2} + ... + \frac{A_{p-1}}{(x - a_1)^{p-1}} + \frac{A_p}{(x - a_1)^p}\]

donde

son constantes que se determinan igual que en el caso 1.

CASO 3

Supongamos que en la descomposición de Q(x) aparecen factores cuadráticos y ninguno de ellos se repiten, luego a cada factor cuadrático de la forma

le corresponde la fracción parcial \(\frac{Ax + B}{x^2 + px + q}\).

CASO 4

Supongamos que en la descomposición de Q(x) aparecen factores cuadráticos que se repiten.

Sea

un factor cuadrático que se repite n veces, entonces a este factor le corresponde la suma de las fracciones parciales.

\[\frac{A_1 x + B_1}{(x^2 + px + q)} + \frac{A_2 x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + ... + \frac{A_n x + B_n}{(x^2 + px + q)^n}\]

OBSERVACIÓN 5

En la descomposición del polinomio Q(x) pueden aparecer factores lineales que no se repiten y factores lineales que si, junto con factores cuadráticos algunos de los cuales se repiten y otros no y por lo tanto hay que combinar los casos 1, 2, 3 y 4 para el cálculo de

\[\int \frac{r(x)}{Q(x)} dx\]

21 EJEMPLOS:

a) Calcular

factorizando el denominador se obtiene:

\[x^4 + 3x^2 + 2 = (x^2 + 1)(x^2 + 2)\]

Luego,

\[\frac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 2}\]

de donde

\[x^3 + x^2 + x + 2 = (Ax + B)(x^2 + 2) + (Cx + D)(x^2 + 1) =\]

\[= (A + C) x^3 + (B + D) x^2 + (2A + C) x + (2B + D)\]

luego se tiene el sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} A + C = 1 \\ B + D = 1 \\ 2A + C = 1 \\ 2B + D = 2 \end{cases}\]

cuya solución es:

en consecuencia,

\[\int \frac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} dx = \int \frac{dx}{x^2 + 1} + \int \frac{xdx}{x^2 + 2} = \text{arctg } x + \frac{1}{2} \text{Ln}|x^2 + 2| + C .\]

b) Calcular

\[\int \frac{2x^3 + 3}{(x^2 + 1)^2} dx\]

tenemos que

\[\frac{2x^3 + 3}{(x^2 + 1)^2} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}\]

por lo tanto

\[2x^3 + 3 = (Ax+B)(x^2+1) + (Cx+D) =\]

\[= Ax^3 + Bx^2 + (A+C)x + (B+D)\]

de donde se obtiene el sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} A = 2 \\ B = 2 \\ A+C = 0 \\ B+D = 3 \end{cases}\]

cuya solución es:

\[A = 2, B = 0, C = -2, D = 3 ,\]

luego queda que

\[\int \frac{2x^3 + 3}{(x^2+1)^2} dx = \int \frac{2x dx}{x^2+1} + \int \frac{(-2x+3) dx}{(x^2+1)^2} =\]

\[= \text{Ln}(x^2+1) + \frac{1}{1+x^2} + \frac{3}{2} \text{arctg } x + \frac{3x}{2(1+x^2)} + C .\]

22 INTEGRACIÓN DE FUNCIÓNES TRIGONOMÉTRICAS.

Ahora nos proponemos calcular integrales tales como

a)

, b)

, c)

, etc.

Para calcular estas integrales hacemos uso de las identidades trigonométricas.

a) Procedamos a calcular

. Para ello usemos la identidad

, luego queda:

\[\int \text{sen}^2 x dx = \int \frac{1}{2} (1 - \cos 2x) dx = \frac{1}{2} \left[ \int dx - \int \cos 2x dx \right]\]

. por otro lado

se resuelve con la sustitución \(t = 2x\) por

lo tanto

y

en consecuencia,

\[\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int \cos t dt =\]

\[= \frac{1}{2} \text{sen } t = \frac{1}{2} \text{sen } 2x\]

luego

\[\int \text{sen}^2 x dx = \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \text{sen } 2x \right)\]

\[= \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \text{sen } 2x .\]

b) Calculemos

\[\int \cos^5 x dx\]

pero

\[\cos^5 x = \cos^4 x \cos x = (\cos^2 x)^2 \cos x = (1 - \text{sen}^2 x)^2 \cos x\]

luego

\[\int \cos^5 x dx = \int (1 - \text{sen}^2 x)^2 \cos x dx =\]

\[= \int (1 - 2 \text{sen}^2 x + \text{sen}^4 x) \cos x dx =\]

\[= \int \cos x dx - 2 \int \text{sen}^2 x \cos x dx + \int \text{sen}^4 x \cos x dx .\]

La integral

\[\int \text{sen}^2 x \cos x dx\]

se resuelve haciendo el cambio de variable

\[t = \text{sen } x\]

por lo tanto

\[dt = \cos x dx\]

luego

\[\int \text{sen}^2 x \cos x dx = \int t^2 dt = \frac{t^3}{3} + C_1\]

Escribiendo el resultado en términos de x nos queda,

\[\int \text{sen}^2 x \cos x dx = \frac{\text{sen}^3 x}{3} + C_1\]

siguiendo el mismo procedimiento se obtiene

\[\int \text{sen}^4 x \cos x dx = \frac{\text{sen}^5 x}{5} + C_2 .\]

En conclusión

\[\int \cos^5 x dx = \text{sen } x - \frac{2 \text{sen}^3 x}{3} + \frac{\text{sen}^5 x}{5} + C\]

donde

c) Calculemos

\[\int \text{sen}^2 x \cos^3 x dx\]

como

escribimos

\[\int \text{sen}^2 x \cos^3 x dx = \int \text{sen}^2 x (1 - \text{sen}^2 x) \cos x dx =\]

\[= \int \text{sen}^2 x \cos x dx - \int \text{sen}^4 x \cos x dx =\]

\[= \frac{\text{sen}^3 x}{3} - \frac{\text{sen}^5 x}{5} + C .\]

23 FORMULAS DE REDUCCION

Algunas integrales trigonométricas como

, requieren para su cálculo la repetida aplicación de la integración por partes, dando lugar a las llamadas fórmulas de reducción.

A este tipo de integrales también corresponden las siguientes:

Así, por ejemplo:

llamemos

\[dv = \cos^{n-2} x \text{ sen } x dx\]

\[u = \text{sen } x\]

entonces

y

luego

\[I = -\text{sen } x \frac{\cos^{n-1} x}{(n-1)} - \int -\frac{\cos^{n-1} x}{(n-1)} \cos x dx\]

luego, sustituyendo en I queda

\[\int \cos^n x dx = \int \cos^{n-2} x dx - \frac{\text{sen } x \cos^{n-1} x}{(1-n)} - \int \frac{\cos^n x}{(n-1)} dx\]

entonces

\[\int \cos^n x dx + \int \frac{\cos^n x}{(n-1)} dx = \int \cos^{n-2} x dx - \frac{\text{sen } x \cos^{n-1} x}{(1-n)}\]

\[\left[ 1 + \frac{1}{(n-1)} \right] \int \cos^n x dx = \int \cos^{n-2} x dx + \frac{\text{sen } x \cos^{n-1} x}{(n-1)}\]

luego

\[\frac{n}{(n-1)} \int \cos^n x dx = \int \cos^{n-2} x dx + \frac{\text{sen } x \cos^{n-1} x}{(n-1)}\]

y finalmente

\[\int \cos^n x dx = \frac{(n-1)}{n} \int \cos^{n-2} x dx + \frac{1}{n} \text{sen } x \cos^{n-1} x .\]

Si reiteradamente integramos por partes llegamos a disminuir progresivamente el exponente del \(\cos^n x\) hasta \(\cos^2 x\), función cuya integral es fácil de calcular.

Análogamente, se obtiene:

\[\int \text{sen}^n x dx = - \frac{\text{sen}^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \text{sen}^{n-2} x dx\]

y se reitera el proceso hasta llegar a

la cual es fácil de calcular (ver ejemplo a. sección 22).

24 EJERCICIOS PROPUESTOS:

Calcular las siguientes integrales:

1.

2.

3.

4.

5.

25 RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS:

1)

2)

3) Sustituyendo

,

\[I = \int t^6 (1 - t^2)^2 dt = \int (t^6 - 2t^8 + t^{10}) dt\]

\[= \frac{t^7}{7} - \frac{2t^9}{9} + \frac{t^{11}}{11} + C = \frac{\text{sen}^7 x}{7} - \frac{2 \text{sen}^9 x}{9} + \frac{\text{sen}^{11} x}{11} + C\]

4)

5)

EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE N° 3

Al finalizar esta Experiencia de Aprendizaje serás capaz de :

. Calcular integrales definidas mediante la Formula de Barrow

26 RELACION ENTRE LAS INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS.

Regresemos ahora al punto en el cual dijimos que podíamos calcular la integral definida a partir de la integral indefinida (ver sección 7)

Enunciemos la siguiente proposición:

PROPOSICIÓN 2

Si G es una primitiva de f se tiene

\[\int_{a}^{b} f(x) dx = G(x) \Big|_{a}^{b} = G(b) - G(a)\]

El resultado de esta proposición es la fórmula de Barrow

EJEMPLOS:

a) Evaluar

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\text{sen } \theta + \cos 2\theta)^2 d\theta =\]

\[= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\text{sen}^2 \theta + 2 \text{ sen } \theta \cos 2\theta + \cos^2 2\theta) d\theta\]

\[= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{1}{2} (1 - \cos 2\theta) + \text{sen } 3\theta - \text{sen } \theta + \frac{1}{2} (\cos 4\theta + 1) \right] d\theta\]

\[= \left[ \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{4} \text{ sen } 2\theta - \frac{1}{3} \cos 3\theta + \cos \theta + \frac{1}{8} \text{ sen } 4\theta + \frac{1}{2} \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\]

\[= \frac{1}{2} \pi - \frac{2}{3}\]

b) Si O es el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y A es el punto \((\frac{1}{3}, \frac{1}{4})\) sobre la curva de ecuación

calculemos el área encerrada por el eje de las ordenadas, el segmento de recta OA y el arco de la curva que une los puntos

y \((\frac{1}{3}, \frac{1}{4})\) fig.(6).

Área OAB =

\[= \int_{0}^{1/3} \left[ \frac{1}{2} (1 + \cos 2\pi x) - \frac{3}{4}x \right] dx\]

\[= \left[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4\pi} \text{ sen } 2\pi x - \frac{3}{8}x^2 \right]_{0}^{1/3} = \frac{\sqrt{3}}{6\pi} + \frac{1}{8} .\]

27 METODO DEL CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DEFINIDAS.

Recordemos que la fórmula del cambio de variable para integrales indefinidas se expresa por

\[\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt .\]

Si queremos calcular

\[I = \int_{a}^{b} f(x) dx\]

y hacemos

\[x = \varphi(t) \text{ y } \alpha, \beta \text{ son tales que } \varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b\]

entonces

\[\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt\]

OBSERVACIÓN 6

Notemos que los extremos de integración varían al hacer el cambio de variable.

Ejemplo

Evalúe

Hacemos

, entonces

y

\[\int_{2}^{3} \frac{(3-x) dx}{1 + \sqrt{x-2}} = \int_{0}^{1} \frac{(1-u^2) 2u du}{1 + u} = \int_{0}^{1} 2u (1-u) du\]

\[= 2 \left[ \frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{3}u^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\]

28 METODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES PARA INTEGRALES DEFINIDAS.

Retomemos la fórmula de integración por partes para integrales indefinidas:

\[\int u dv = uv - \int v du\]

esta fórmula se traduce en

\[\int_{a}^{b} u dv = uv \Big|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v du\]

que es la fórmula de integración por partes para integrales definidas.

EJEMPLOS:

a)

\[u = x, dv = e^{-x} dx \quad du = dx, v = -e^{-x}\]

\[I = -x e^{-x} \Big|_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-x} dx = -\frac{1}{e} - e^{-x} \Big|_{0}^{1} = -\frac{2}{e} + 1 .\]

b)

\[u = e^x \quad dv = \cos x dx\]

\[du = e^x dx \quad v = \text{sen } x\]

\[I = e^x \text{ sen } x \Big|_{0}^{\pi/2} - \int_{0}^{\pi/2} e^x \text{ sen } x dx\]

\[= e^{\pi/2} + e^x \cos x \Big|_{0}^{\pi/2} - \int_{0}^{\pi/2} e^x \cos x dx\]

\[= e^{\pi/2} + 1 - I\]

de donde, \(I = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2}\)

c)

como se tiene:

\[v'' = \text{sen } x, v''' = -\cos x, v' = -\text{sen } x, v = \cos x\]

Usamos la fórmula:

\[\int_{a}^{b} u v^{(n+1)} dx = \left( u v^{(n)} - u' v^{(n-1)} + \dots + (-1)^n u^{(n)} v \right) \Big|_{a}^{b} + (-1)^{n+1} \int_{a}^{b} u^{(n+1)} v dx\]

que se obtiene al integrar reiteradas veces por partes.

\[I = \left( -x^3 \cos x + 3x^2 \text{ sen } x + 6x \cos x \right) \Big|_{0}^{\pi} - 6 \int_{0}^{\pi} \cos x dx\]

\[= \pi^3 - 6\pi - 6 (\text{sen } x) \Big|_{0}^{\pi} = \pi^3 - 6\pi .\]

29 EJERCICIOS PROPUESTOS:

Calcular las siguientes integrales:

1)

2)

3)

30 RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS:

1)

2)

3)

Con el fin de que verifiques el dominio alcanzado en la Unidad 1 te presentamos una prueba a modo de autoevaluación.

INSTRUCCIONES

1.- Cada pregunta consta de una proposición seguida de varias alternativas de respuestas, de las cuales sólo una es correcta.

2.- Selecciona la alternativa correcta

3.- Una vez hecha la selección de tu respuesta encierra en un círculo la letra correspondiente.

UNIDAD 1 MODULO 1

1) Calcular

.

A.

B.\(\frac{1}{9} (2x^3 + 9)^{\frac{3}{2}} + C\)C.\(\frac{1}{9} (2x^3 + 9)^{\frac{2}{3}} + C\)D.

E.\(\frac{1}{9} \left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} \right)^{\frac{4}{3}} + C\)

2) Calcular

A.

B.

C.

D.

E.

3) Calcular

A.

B.\(\frac{1}{2} \text{ Ln } (x^2 + x + 1) - \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ arc cotg } \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C\)C.

D.\(\frac{1}{2} \text{ Ln } (x^2 + x + 1) - \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ arc tg } \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C\)E.

4) Calcular

A.

B.

C.

D.

E.

5) Calcular

A.

B.

C.

D.

E.

6) Calcular

A.

B.

C.

D.

E.

7) Calcular

A.

B.

C.

D.

E.

8) Calcular

A. \(\frac{2\sqrt{2} - 1}{3}\) B.\(\frac{2\sqrt{2} + 1}{3}\) C.\(\frac{2\sqrt{2} + 1}{6}\) D.\(\frac{2\sqrt{2} - 1}{6}\) E.\(\frac{\sqrt{2} - 1}{3}\)

9) Calcular

A. -1

B. \(-\frac{1}{2}\) C.\(\frac{1}{2}\) D. -2

E. 2

10) Calcular

A. \(\pi\) B. \(2\pi\) C.\(\frac{\pi}{2}\) D. \(\frac{\pi}{4}\)E. \(4\pi\)

UNIDAD I. MODULO I